Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function) | Maths 4 Physics & more…

Tháng Mười Một 13, 2023 Tháng Mười Một 13, 2023 Vũ Hồng Anh

Video differentiable toán học

Shortlink: http://wp.me/P8gtr-1ds

Có thể bạn quan tâm

I. Đạo hàm (derivative)

Bạn đang xem: Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function) | Maths 4 Physics & more…

1. Định nghĩa đạo hàm:

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên D, $x_0 in D$ .

Cho $x_0$ số gia ${Delta}x$ (không phân biệt dương hay âm) sao cho: $x_0 +{Delta}x in D$ . Ta gọi ${Delta}y = f(x_0+{Delta}x) - f(x_0)$ là số gia của hàm số $y = f(x)$ .

Lập tỷ số:

$dfrac{{Delta}y}{{Delta}x} = dfrac{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}{{Delta}x}$

Tìm giới hạn của tỉ số trên khi ${Delta}x$ . Khi đó, giới hạn hữu hạn (nếu có) được gọi là đạo hàm của hàm số tại $x_0$ và ký hiệu $f'(x_0)$

Như vậy: $f'(x_0) = limlimits_{{Delta}x to 0} dfrac{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}{{Delta}x}$

Nếu đặt $x = x_0 +{Delta}x$ , ta có: $f'(x_0) = limlimits_{x to x_0} dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

Tổng quát: $f'(x) = limlimits_{{Delta}x to 0} dfrac{f(x+{Delta}x)-f(x)}{{Delta}x}$

– Đạo hàm trái: nếu giới hạn $limlimits_{{Delta}x to 0-} dfrac{f(x_0+{Delta}x)-f(x_0)}{{Delta}x}$ tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên trái của f(x) tại $x_0$ . Ký hiệu $f_{-}^{'}(x_0)$

– Đạo hàm phải: nếu giới hạn $limlimits_{{Delta}x to 0+} dfrac{{Delta}y}{{Delta}x}$ tồn tại và hữu hạn thì giới hạn đó gọi là đạo hàm bên phải của f(x) tại $x_0$ . Ký hiệu $f_{+}^{'}(x_0)$

– Từ tính chất của giới hạn ta có định lý sau:

Hàm số f(x) có đạo hàm tại $x_0$ khi và chỉ khi f(x) có đạo hàm trái và đạo hàm phải tại $x_0$ và các đạo hàm đó bằng nhau.

Ví dụ 1: Cho hàm số: $f(x) = left{begin{array}{cl} x & ; x le 1 -x^2+2x & ; x rm{>} 1 end{array} right.$

Tìm $f'(1)$

Ta có:

$f_{+}^{'}(1) = limlimits_{x to 1+} dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = limlimits_{x to 1+} dfrac{-x^2+2x-1}{x-1} = 0$

$f_{-}^{'}(1) = limlimits_{x to 1-} dfrac{f(x)-f(1)}{x-1} = limlimits_{x to 1-} dfrac{x-1}{x-1} = 1$

Vậy $f_{+}^{'}(1) ne f_{-}^{'}(1)$

Do đó: f(x) không có đạo hàm tại x = 1.

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

3. Các định lý về đạo hàm:

3.1 Định lý 1: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại $x_0$ thì f(x) liên tục tại điểm đó. (Chiều ngược lại chưa chắc đúng).

Chứng minh: do f(x) có đạo hàm tại $x_0$ nên:

$limlimits_{{Delta}x to 0} dfrac{{Delta}y}{{Delta}x} = f'(x_0)$

Theo định nghĩa giới hạn, ta có $dfrac{{Delta}y}{{Delta}x} = f'(x_0) + epsilon$ ( $epsilon rm{<<}$ )

Từ đó: ${Delta}y = f'(x_0).{Delta}x + {epsilon}.{Delta}x$

Do $epsilon rm{<<} , epsilon to 0$ nên: ${epsilon}.{Delta}x$ là VCB cấp cao hơn ${Delta}x$ khi ${Delta}x to 0$

Xem thêm : Lý thuyết Tính chất – Ứng dụng của hiđro (mới 2023 + Bài Tập) – Hóa học 8

Vì vậy: $limlimits_{{Delta}x to 0} {Delta}y = 0$

Nghĩa là: $limlimits_{{Delta}x to 0} f(x_0+{Delta}x) - f(x_0) = 0$

Hay: $limlimits_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$

Vậy: f(x) liên tục tại $x_0$

– Chiều ngược lại không chắc đúng: ta xét lại ví dụ 1 ở trên. Rõ ràng, hàm f(x) liên tục tại x = 1 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó.

– Phản ví dụ 2: Xét hàm số $f(x) = |x|$ liên tục trên R nhưng không có đạo hàm tại x = 0.

3.2 Định lý 2: (quy tắc tính đạo hàm)

Nếu u(x) và v(x) là các hàm có đạo hàm tại x thì tổng, hiệu, tích thương cũng có đạo hàm tại x và ta có các công thức:

1. $(u pm v)' = u' pm v'$

2. $(u.v)' = u'.v + v'.u$

3. $left( dfrac{u}{v} right)^{'} = dfrac{u'.v-v'.u}{v^2}$

3.3 Định lý 3: (đạo hảm hàm số hợp)

Nếu $y = f(x)$ có đạo hàm tại $x_0$ và $z = g(y)$ xác định trong một khoảng chứa $y_0 = f(x_0)$ và có đạo hàm tại $y_0$ . Khi đó: hàm $z = g(f(x))$ có đạo hàm tại $x_0$ và

$z'(x_0) = g'(y_0).f'(x_0) (3.3)$

Tổng quát: $z_x^{'} = z_{y}^{'}.y_{x}^{'}$

Chứng minh:

Ta có: $limlimits_{{Delta}y to 0}dfrac{{Delta}z}{{Delta}y} = z_y^{'}(y_0)$

Từ định nghĩa giới hạn, ta suy ra: $dfrac{{Delta}z}{{Delta}x} = z_y^{'}(y_0) + alpha$ (1)

trong đó $alpha to 0$ khi ${Delta}y to 0$

Viết lại đẳng thức (*) ta có: ${Delta}z = z_y^{'}(y_0).{Delta}y + {alpha}.{Delta}y$ (2)

Chia 2 vế của (3) cho ${Delta}x$ ta có:

$dfrac{{Delta}z}{{Delta}x} = z_y^{'}(y_0).{dfrac{{Delta}y}{{Delta}x}} +{alpha} dfrac{{Delta}y}{{Delta}x}$

Mặt khác, do : ${Delta}y = f(x_0+{Delta}x) - f(x_0)$ nên ${Delta}x to x$ thì ${Delta}y to 0$

Vậy: $limlimits_{{Delta}x to 0} alpha = 0$ (4)

Mà: $limlimits_{{Delta}x to 0} dfrac{{Delta}y}{{Delta}x} = y_x^{'}(x_0)$ (5)

Do đó: từ (3), (4), (5) ta có:

$limlimits_{{Delta}x to 0} dfrac{{Delta}z}{{Delta}x} = z_y^{'}(x_0).y_x^{'}(x_0)$ .

3.4 Định lý 4: (đạo hàm hàm số ngược)

Cho hàm số y = f(x) liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến) trong khoảng (a,b). Nếu f(x) có đạo hàm tại $x_0 in (a,b)$ và $f'(x_0) ne 0$ thì hàm ngược $x = g(y)$ của f(x) cũng có đạo hàm tại $y_0 = f(x_0)$ và:

$g_y^{'}(y_0) = dfrac{1}{f_x^{'}(x_0)} (3.4)$

Xem thêm : Trung Tâm Ngoại Ngữ Đại Học Bách Khoa TP. HCM BK English

Chứng minh:

Vì f(x) là hàm đồng biến (nghịch biến) trong khoảng (a,b) nên tồn tại duy nhất hàm ngược $x = g(y)$

Khi đó, xét: $dfrac{g(y)-g(y_0)}{y-y_0} = dfrac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = dfrac{1}{dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}}$ (*)

Cho $x to x_0$ . do f(x) là hàm liên tục nên: $f(x) to f(x_0)$ , hay $y to y_o$

Lấy giới hạn của (*) khi $y to y_0$ . ta có:

$g_y^{'}(y_0) = dfrac{1}{f_x^{'}(x_0)}$ (dpcm)

Ví dụ 1: Cho $y = arcsinx$ Tính $y_x^{'}$

Ta có: $y = arcsinx Rightarrow x = siny$

Theo công thức (3.4), ta có: $y_x^{'} = dfrac{1}{x_y^{'}} = dfrac{1}{cosy}$

Mà do $y = arcsinx Rightarrow y in left[ -dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} right] Rightarrow cosy ge 0$

Nên: $cosy = sqrt{1-sin^2y} = sqrt{1-x^2}$

Do đó:

$(arcsinx)' = dfrac{1}{sqrt{1-x^2}} (-1 rm{<} x rm{<} 1 )$

Ví dụ 2: Cho $y = arccosx$ . Tìm $y_x^{'}$

Ta có: $y = arccosx Rightarrow x = cosy$

Nên: $y_x^{'} = dfrac{1}{x_y^{'}} = dfrac{1}{-siny} = dfrac{-1}{siny}$

Lại có: $y = arccosx Rightarrow y in [0,pi] Rightarrow siny ge 0$

Suy ra: $y_x^{'} = dfrac{-1}{siny} = dfrac{-1}{sqrt{1-cos^2y}} = dfrac{-1}{sqrt{1-x^2}}$

Vậy:

$(arccox)' = dfrac{-1}{sqrt{1-x^2}} (-1 rm{<} x rm{<} 1 )$

Ví dụ 3: Cho $y = arctanx$ . Tính $y_x^{'}$

tương tự: $y = arctanx Rightarrow x = tany$

Suy ra: $y_x^{'} = dfrac{1}{x_y^{'}} = dfrac{1}{1+tan^2y} = dfrac{1}{1+x^2}$

Vậy:

$(arctanx)' = dfrac{1}{1+x^2}$

Ví dụ 4: Cho $y = (arcsinx)^{arctanx} left( 0 rm{<} x le 1 right)$ . Tìm y’?

Ta có: $y = e^{(arctanx).ln(arcsinx)} Rightarrow y' = e^{(arctanx).ln(arcsinx)}.((arctanx).ln(arcsinx))'$

Lại có: $((arctanx).ln(arcsinx))' = dfrac{ln(arcsinx)}{1+x^2} + dfrac{arctanx}{(arcsinx).sqrt{1-x^2}}$

Vậy: $y' = e^{(arctanx)ln(arcsinx)}. left[ dfrac{ln(arcsinx)}{1+x^2} + dfrac{arctanx}{(arcsinx).sqrt{1-x^2}} right] (rm{0 < x < 1})$

(còn tiếp)

Nguồn: https://tiengtrungnhuy.edu.vn
Danh mục: Giáo Dục

About Vũ Hồng Anh

« Phốt pho là gì? Tính chất hóa học, ứng dụng của Phosphor?

MÁY MASSAGE ĐẨY DƯỠNG CHỐNG LÃO HÓA RF CÓ TỐT KHÔNG? TOP NHỮNG MÁY ĐẨY DƯỠNG CAO CẤP NHẤT HIỆN NAY »